1
2
-2023
( )
: : 75
: ,
-
1. - ? ? -
2. ?
-
3.
4. :
-+=3
2x+yz-2
+2y-2z=-1
2
2
-
5. 30-40
:
(.)
15-20
20-30
30-40
45-55
5-70
73
97
110
183
140
6. (a) :
(b) f(x) 3/8 x=0.1 x1.0
f(x)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.001
1.008
1.027
1.064
1.125
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.216
1.343
1.512
1.729
2.0
-
7. - ? -
8. () ? ?
(b)
10
12
24
25
20
3
2
17
25
30
10
-2023
( )
: : 75
: ,
-
1. - ? ? -
: - , -
1. -
- ,
, -
4
2
- :
a) : y = x^2 + 3x + 2 b) : y = 2^xc) : y =
log(x) d) : y = sin(x) e) 1 : y = x^3 -
2x^2 + 4
,
, ,
2. -
-
:
) - ,
) - ,
-
) : -
) ,
-
) : - 3D
) -
)
-
) : -
3. -
- ( )
- , x
f(x) = 0 , f(x) -
5
2
:
1: , x0
: f(x0)
3: f'(x0)
4: : x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)
5x1 2-4 , x2,
N : xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
x-
4. - ?
, :
- f(x) x-
x0
(x0, f(x0))
, f'(x0) , x0
: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
x- ,
, y = 0, :
0 - f(x0) = f'(x0)(x - x0) x = x0 - f(x0) / f'(x0)
5. -
) : , -
,
) :
) : -
6.
- :
6
2
) :
,
) ,
) : ,
d) ,
) ,
7.
- ,
5
: f(x) = x^2 - 5 = 0
: f'(x) = 2x
x0 = 2 ( 2^2 = 4 , 5 )
1: x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 2 - (2^2 - 5) / (2*2) = 2 - (-1) / 4 = 2.25
2: x2 = 2.25 - (2.25^2 - 5) / (2*2.25) ≈ 2.2361111111
3: x3 ≈ 2.2360679775
, 5 10
! 2.2360679775 ,
8.
, - ,
:
) ) -
:
def _(f, f_prime, x0, =1e-6, max_iterations=100):
7
2
= x
i :
= ()
abs(fx) < :
x
= _()
dfx == 0:
#
= - /
None #
# sqrt(5)
(x):
x**2 - 5
f_(x):
2*x
= _(f, f_prime, 2)
(f"sqrt(5) : {}")
- ,
9.
-
,
8
2
1671 " "
,
1690
, ,
1740 , "-"
,
- -
,
, -
-
2. ?
1. : -
, - , x
f(x) = 0 ,
(
) ,
-
2.
:
a) , a b , f(a) f(b)
a b
) ,
(a, f(a)) (b, f(b))
c) x- ,
c
9
2
d) f(c) f(c) = 0, ,
a b c , f(c)
)
c :
= ( * () - * ()) / (() - ())
3.
:
) ,
,
b) , ,
,
) : ,
d) - ( ) ,
,
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4.
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10
2
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• :
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• :
) :
• :
• :
5.
, :
x- y-
x-
:
•
•
:
• (a, f(a)) (b, f(b))
• x- -
: "" ,
6.
: :
• ,
11
2
• .
•
:
•
• -
: :
• .
• ,
•
:
• ,
• ,
7.
:
•
:
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o
o
• :
o -
o ,
o
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8.
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12
2
) : :
•
• ( |f(x)| )
• ( |b - a| )
) - : -
) :
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( )
9.
,
-
10.
,
(
) ,
-
,
, , -
,
,
13
2
-
3.
1. :
,
(
) :
2x + 3y - z = 1 x - y + 2z = -2 3x + 2y + z = 4
x, y z
2. -
-
:
1. ( )
2. ,
3. ,
4.
5. 2-4 (
)
:
: 4x - y + z = 7 x + 5y + 2z = 13 x + y + 3z = 10
1: : x = (7 + y - z) / 4 y = (13 - x -
2z) / 5 z = (10 - x - y) / 3
2: x = 0, y = 0, z = 0
3: : x = (7 + 0 - 0) / 4 = 1.75 y = (13 - 1.75 - 2(0)) / 5 = 2.25 z = (10 - 1.75 -
2.25) / 3 = 2
14
2
4: : x = (7 + 2.25 - 2) / 4 = 1.8125 y = (13 - 1.8125 - 2(2)) / 5 = 1.4375 z =
(10 - 1.8125 - 1.4375) / 3 = 2.25
3. -
) : ,
-
)
) : , (
),
) : -
4. -
) , , -
) :
) ,
5. -
, -
,
( )
:
1. ( ,
)
2.
3.
:
4x - y + z = 7 x + 5y + 2z = 13 x + y + 3z = 10
15
2
1: : [4 -1 1 | 7] [1 5 2 | 13] [1 1 3 | 10]
2: 1 0 :
[1 0 0 | 2] [0 1 0 | 3] [0 0 1 | 1]
3: : x = 2, y = 3, z = 1
6. -
) :
) :
) :
) : ,
7. -
) : ,
b) :
) : , ,
8. - -
) :
• -: ,
• -: , ( )
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• -: , ( )
• -:
) :
• -: - ,
• -:
16
2
) :
• -: ,
• -: ,
) :
• -: , -
• -: -
) :
• -:
• -:
9.
- :
• ,
•
•
•
- :
•
•
• ( )
•
10.
- 19 , - 19
:
• : ,
• : ,
17
2
• : , -
• : , 3D
• :
,
-
11.
- -
,
, ,
- ,
, ,
,
, -
-
,
-
4. :
-+=3
2x+yz-2
+2y-2z=-1
: , :
1. - + = 3
2. 2x + y - z = 2
18
2
3. + 2y - 2z = -1
, ,
,
,
1:
,
:
[1 -1 1 | 3] [2 1 -1 | 2] [1 2 -2 | -1]
,
x, y
z
2:
,
(
)
a) , x :
-2 :
[1 -1 1 | 3] [0 3 -3 | -4] [1 2 -2 | -1]
b) , x : :
[1 -1 1 | 3] [0 3 -3 | -4] [0 3 -3 | -4]
c)
, :
1 -1/3 :
[1 -1 1 | 3] [0 1 -1 | -4/3] [0 3 -3 | -4]
d) , y :
:
[1 0 0 | 5/3] [0 1 -1 | -4/3] [0 3 -3 | -4]
) , y :
3 :
[1 0 0 | 5/3] [0 1 -1 | -4/3] [0 0 0 | 0]
19
2
3:
,
, [0 0 0 | 0]
0x + 0y + 0z = 0 , x, y z
[0 0 0 | k] , k - , 0 = k
,
, :
: x = 5/3 : y - z = -4/3
z y : z = y + 4/3
, y
, z x
:
x = 5/3 y = t ( t ) z = t + 4/3
:
1. x - y + z = 3 5/3 - t + (t + 4/3) = 5/3 - t + t + 4/3 = 3
2. 2x + y - z = 2 2(5/3) + - ( + 4/3) = 10/3 + - - 4/3 = 2
3. x + 2y - 2z = -1 5/3 + 2t - 2(t + 4/3) = 5/3 + 2t - 2t - 8/3 = -1
t ,
:
1.
2. ,
3. ,
20
2
4. : x = 5/3, y = t, z = t + 4/3, t
x, y z
y , x z
, -
(5/3, 0, 4/3)
t = 0 , t
,
, ,
, :
1. :3D 2D
2.
3. :
4. :
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
, ,
-
21
2
-
5. 30-40
:
(.)
15-20
20-30
30-40
45-55
5-70
73
97
110
183
140
: , :
30-40
(110 ),
,
, :
1. ?
,
,
2. ?
,
3. :
, :
1: x-
y- :
x0 = 17.5 (15-20 ), y0 = 73 x1 = 25 (20-30 ), y1 = 97 x2 = 35 (30-40
), y2 = 110 ( ) x3 = 50 (45-55 ), y3 =
183 x4 = 62.5 (55-70 ), y4 = 140
: :
(x) = Σ(yi * Li(x))
22
2
Li(x) = Π(x - xj) / (xi - xj) j ≠ i
, :
• L(x)
• yi y- ( )
• Li(x)
• x ( , 35)
• xi xj x- ( )
3: L0(35), L1(35), L3(35), L4(35)
L2(35)
0(35) = (35-25)(35-35)(35-50)(35-62.5) / (17.5-25)(17.5-35)(17.5-50)(17.5-62.5) 1(35)
= (35-17.5)(35-35)(35-50)(35-62.5) / (25-17.5)(25-35)(25-50)(25-62.5) 3(35) = (35-
17.5)(35-25)(35-35)(35-62.5) / (50-17.5)(50-25)(50-35)(50-62.5) 4(35) = (35-17.5)(35-
25)(35-35)(35-50) / (62.5-17.5)(62.5-25)(62.5-35)(62.5-50)
4: :
(35) = 730(35) + 971(35) + 1833(35) + 1404(35)
5: ,
, 110
: , 110 ,
?
1. : 30-40 ,
2.
,
3. :
,
( 40-45)
23
2
:
1. : ,
,
2. ,
,
3. : ,
:
1. : ,
2. :
3. :
4. :
,
, 30-40
, ,
, ,
,
,
, ,
,
24
2
6. (a) :
:
,
( , )
,
(
)
:
• a b ,
• n ( ),
• a ,
• x0,x1,x2,…,xn_ [a,b][a, b][a,b] ,
• f(xi)
1, 4 2
:
x=0 x=5
, --
25
2
1: (nnn)
, n=6n
= 6n=6 , [0,5][0, 5][0,5] 6
2: (hhh)
:
0.8333
3: xix_ixi
x0,x1,x2,…,x6x_0, x_1, x_2, \dots, x_6x0,x1,x2,…,x6
:
f(x)
4: f(xi)
, f(x)= .
5:
, :
26
2
:
6 ∫05dx1+x4\int_0^5
\frac{dx}{1 + x^4}∫051+x4dx 1.1275
:
1.
2.
3.
4. ,
5. , 6 1.1275
,
:
,
,
, ,
:
,
,
,
, 6 0 5 1.1275
27
2
(b) f(x) 3/8 x=0.1 x1.0
f(x)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.001
1.008
1.027
1.064
1.125
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.216
1.343
1.512
1.729
2.0
: 3/8 ,
,
f(x) (Y ) xxx (XXX )
, 3/8 x=0.1x =
0.1x=0.1 x=1.0x = 1.0x=1.0
1: 3/8
3/8
1/3
,
3/8 :
:
• a bbb ,
• x0,x1,x2,…,xn ,
• h , h=b−anh = \frac{b - a}{n}h=nb−a
, nnn ( 3/8 , nnn 3 ),
• f(x0),f(x1),…,f(n) (YYY )
2: 3/8
:
xxx f(x) (Y ) :
28
2
x=0.1x x=1.0x f(x)
:
hhh xxx , :
=0.1
:
10 (x=0.1x = 0.1 ), 9 3/8
, 3 , 9 3 ,
3: 3/8
, 3/8 ,
:
4: 3/8
:
1. hhh 0.1 .
2. 3/8
, :
:
• 1.0011.0011.001 .
• 3(1.008)=3.0243(1.008) = 3.0243(1.008)=3.024,
29
2
• 3(1.027)=3.0813(1.027) = 3.0813(1.027)=3.081,
• 2(1.064)=2.1282(1.064) = 2.1282(1.064)=2.128,
• 3(1.125)=3.3753(1.125) = 3.3753(1.125)=3.375,
• 3(1.216)=3.6483(1.216) = 3.6483(1.216)=3.648,
• 2(1.343)=2.6862(1.343) = 2.6862(1.343)=2.686,
• 3(1.512)=4.5363(1.512) = 4.5363(1.512)=4.536,
• 3(1.729)=5.1873(1.729) = 5.1873(1.729)=5.187,
• 2.02.02.0 .
, :
5:
3/8 x=0.1 x=1.0x f(x)
1.150
,
3/8
,
3/8 :
1. 3
2. xxx f(x)f(x)f(x) ,
3.
, -
, 3/8
30
2
-
7. - ? -
: :
:
1. ( )
2.
3.
4.
5.
6.
, : ,
-
1. :
, ,
:
: = ( ) / ( )
:
) ,
b)
,
,
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) , ,
,
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,
31
2
:
) ():
,
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) :
d)
:
,
2. :
:
• :
• :
:
) : ,
) : ,
( )
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d) ,
)
,
:
a)
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32
2
b)
,
c) ,
d) : ,
3. :
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:
) : ,
,
) :
c) ()
d) : ,
) ,
:
) : ,
) : ,
,
) : ,
) :
:
, :
1. :
33
2
o
o ,
o ,
2. :
o , ,
o , ,
3. :
o ,
4. :
o
o ( ) ,
5. :
o , ,
o ,
,
,
,
:
• > ,
• < ,
• ≈ ,
, ,
,
34
2
,
(
, )
,
,
, -
,
8. () ? ?
(b)
10
12
24
25
20
17
25
30
10
() ? ?
,
-1 +1 , :
• +1
• -1
• 0
:
1. - , -
, - ,
35
2
2. - , , -
,
3. : ,
:
1. ,
2. , ,
3. : ,
4. : ,
5. ,
6. :
-
,
()
, r ,
(r) :
= Σ(( - )( - )) / √(Σ( - )² * Σ( - )²)
: X Y X
, X Ȳ, Y Σ
:
: 10, 12, 24, 25, 20 : 13, 17, 25, 30, 10
1: (X Ȳ)
= (10 + 12 + 24 + 25 + 20) / 5 = 91 / 5 = 18.2 = (13 + 17 + 25 + 30 + 10) / 5 = 95 / 5
= 19
36
2
2: (X - X) (Y - Ȳ)
- : 10 - 18.2 = -8.2 12 - 18.2 = -6.2 24 - 18.2 = 5.8 25 - 18.2 = 6.8 20 - 18.2 = 1.8
- : 13 - 19 = -6 17 - 19 = -2 25 - 19 = 6 30 - 19 = 11 10 - 19 = -9
3: (X - X)(Y - Ȳ), (X - X)², (Y - Ȳ)²
(X - X
)(Y - Ȳ): (-8.2)(-6) = 49.2 (-6.2)(-2) = 12.4 (5.8)(6) = 34.8 (6.8)(11) = 74.8 (1.8)(-9) = -16.2
( - )²: (-8.2)² = 67.24 (-6.2)² = 38.44 (5.8)² = 33.64 (6.8)² = 46.24 (1.8)² = 3.24
( - )²: (-6)² = 36 (-2)² = 4 (6)² = 36 (11)² = 121 (-9)² = 81
4:
Σ((X - X
)(Y - Ȳ)) = 49.2 + 12.4 + 34.8 + 74.8 + (-16.2) = 155
Σ(X - X
)² = 67.24 + 38.44 + 33.64 + 46.24 + 3.24 = 188.8
Σ( - )² = 36 + 4 + 36 + 121 + 81 = 278
5:
= 155 / √(188.8 * 278) = 155 / √52486.4 = 155 / 229.1 = 0.677
, X Y 0.677
:
0.677 X Y
- X , Y , --
:
• 1
• 0.5
• 0.7
0.677 ,
X Y ,
, X Y
,
:
1. X Y
37
2
2. X Y ,
3. X Y ,
,
- X, Y , Y, X
, ,
,
(0.677) ,
X Y ,
: ( )
,
